2016-10-26

基数のべきを調べたいという話その2

特異基数等

続きです。

特異基数のべきを調べるにはどうしたらいいんだ！って話でした。

これを知るために次の言葉を定義します。

定義(gimel関数)

${ICN}$ 上の関数 ${\kappa^{cf(\kappa)}}$ をgimel関数という。

ちなみにgimelというのはヘブライ文字の3番目の ${\gimel}$ です。

これに関して次の定理が知られています。

定理

任意の無限基数 ${\kappa}$ に対し次が成立する:

${ 2^{\kappa}=\begin{cases}\kappa^{cf(\kappa)} & \kappa\text{ is regular.}\\ 2^{\lambda_{0}} & \kappa \text{ is singular and }\exists \lambda_{0}\lt\kappa\forall \lambda\lt\kappa(\lambda\lt\lambda_{0}\to 2^{\lambda_{0}}=2^{\lambda})\text{ holds.} \\(2^{\lt\kappa})^{cf(2^{\lt\kappa})} & \text{otherwise.} \end{cases}}$

2行目のケースは ${\lambda_{0}}$ を正則基数として取ることができるので正則基数のgimel関数です。

なのでgimel関数の値が全部わかればべきの値は全部計算できます。

正則基数のgimel関数とべきは同じなのでEastonの定理より正則基数上のgimelについては証明できることは殆どない。

なので調べるべきは特異基数のgimel関数ということになります。

ではgimel関数の値を調べるにはどうしたらいいんだという話になります。

定理

${ \kappa^{\lambda}=|[\kappa]^{\lambda}|}$

ここに、 ${[\kappa]^{\lambda}=\{x\subseteq\kappa\mid |x|=\lambda\}}$

で、 ${[\kappa]^{\lambda}}$ は ${\subseteq}$ で順序が入るのでこれの濃度を知るためには次がわかれば良いです。

定義( ${\subseteq}$ のcofinality)

${cf([\kappa]^{\lambda},\subseteq)=min\{|x|\mid x \subseteq [\kappa]^{\lambda} \text{ is unbounded in } \langle[\kappa]^{\lambda},\subseteq\rangle\}}$

これについて次が成立する。

定理

無限基数 ${\kappa}$ と正則基数 ${\lambda}$ に対して

${|[\kappa]^{\lambda}|=cf([\kappa]^{\lambda},\subseteq)+2^{\lambda}}$

証明

${X\subseteq [\kappa]^{\lambda}}$ をunboundedな部分集合で ${|X|=cf([\kappa]^{\lambda},\subseteq)}$ とする。

すなわち、 ${\forall x\in[\kappa]^{\lambda}\exists y \in X.x\subseteq y}$ が成立する。

よって、 ${x\in[\kappa]^{\lambda}}$ を任意に取ると ${x\in [y]^{\lambda}}$ なる ${ y \in X}$ が存在する。

ので、

${[\kappa]^{\lambda}=\bigcup_{y \in X}[y]^{\lambda}}$

なので ${|[\kappa]^{\lambda}|}$ は ${|[y]^{\lambda}|=|y|^{\lambda}=\lambda^{cf(\lambda)}=2^{\lambda}}$ を|X|個くっつけた値です。

よって ${|[\kappa]^{\lambda}|=cf([\kappa]^{\lambda},\subseteq)\cdot 2^{\lambda}=cf([\kappa]^{\lambda},\subseteq)+2^{\lambda}}$

□

系

任意の無限基数 ${\kappa}$ に対して、

${\kappa^{cf(\kappa)}=cf([\kappa]^{cf(\kappa)},\subseteq)+2^{cf(\kappa)}}$

「これより ${cf([\kappa]^{cf(\kappa)},\subseteq)}$ がわかればgimel関数が計算できます。」

(訂正) ${2^{cf(\kappa)}}$ は正則基数のべきなので ${cf([\kappa]^{cf(\kappa)},\subseteq)}$ について調べればよい。

しかし ${\subseteq}$ は清楚だとか良い性質を全く持っていないのでこの値はよくわかりません。

しかしこれの値に上限が存在するという結果が知られていて具体的に言うと次です:

定理(Shelah)

${cf([\aleph_{\omega}]^{\aleph_{0}},\subseteq)\lt\aleph_{\omega_{4}}}$

次回はどうやって ${cf([\kappa]^{cf(\kappa)},\subseteq)}$ を調べるのかという話をしたいです。

つづく

参考文献は次です。

U.Abraham and M.Magidor,"Cardinal Arithmetic",Handbook of Set Theory Volume2(1149-1228),Springer,2010

M.Holz and K.Steffen,E.Weitz,"Introduction to Cardinal Arithmetic",Modern Birkhaeuser Classics,Birkhause Basel,1999

2016-10-26

順序数と基数の話

特異基数等

定義が色々あるから明記すべきという意見を頂いたのでまとめて順序数と基数についてまとめて書きます。

これは全部ZFC上での定義です。

定義(順序数)

${ \forall x ,y \in \alpha(x \in y \lor x = y \lor y \in x)}$ かつ ${ \forall x ,y (x \in y \in \alpha \to x\in\alpha})$ を満足する集合 ${ \alpha}$ を順序数という.

1つ目の条件をconnective、2つ目の条件をtransitiveという。

例

${0=\emptyset,1=\{0\},2=\{0,1\},...,n,n+1=n\cup\{n\},...}$ は順序数である。これらを有限順序数、あるいは自然数という。

自然数全体の集合 ${\omega=\{0,1,2,...\}}$ は順序数である。

${\omega+1=\omega\cup\{\omega\},\omega+2,\omega+3,...\\ \omega+\omega,\omega+\omega+\omega,...\omega\cdot\omega,\omega\cdot\omega\cdot\omega,...\omega^{\omega},\omega^{\omega^{\omega}},...,\omega_{1},...}$

はすべて順序数。

という感じにたくさん得られる。 ${\omega}$ より大きい順序数を無限順序数、 ${\alpha+1}$ で書ける順序数を後者順序数、そうでないものを極限順序数という。

これは整列集合の順序形を表現する。

定理

任意の整列集合 ${\langle A,S \rangle}$ に対しある順序数 ${\alpha}$ が一意に存在して ${\langle A,S\rangle\simeq\langle \alpha,\in \rangle}$ が成立する。

ここでいう ${\simeq}$ は順序同型ということ。

また、順序数全体の固有クラスを ${ON}$ と書く。

固有クラスと書いたのは集合にならないから。 ${ON}$ 自身は順序数の定義(connectiveとtransitive)を満たすので集合とすると ${ON\in ON}$ になって矛盾。

で、 ${ON}$ でも似たようなことが成立する。

定理

set-likeな整列構造を持つ固有クラス ${\langle C,R\rangle}$ に対し ${\langle C,R\rangle\simeq\langle ON,\in \rangle}$ が成立する。

set-likeは任意の ${y \in C}$ に対して ${\{x \in C |x R y\}}$ が集合という条件。

(追記 2016/10/26)set-likeであるという条件を忘れていたので付け足しました。ご指摘ありがとうございます。

${\simeq}$ についてはまた順序同型の意。クラスだけど同じ風に考える。

で、これを見てもそうなのだけど ${ON}$ は ${\in}$ で一列に整列しているのでこれより順序数の中に不等号を与える。

順序数の大小関係は ${\alpha\lt\beta \leftrightarrow\alpha \in \beta}$ で定義される。

${\alpha\leq\beta}$ を ${\alpha\lt\beta\lor \alpha=\beta}$ とすると ${\langle \alpha,\leq\rangle}$ は整列集合。ここでざっくりとした順序数の説明が出来て要は「 ${\in}$ に関して整列構造をなす集合」って感じ。

で、順序数で大事なものは超限帰納法。

定理(超限帰納法)

${(\varphi(0) \land \forall \alpha(\forall \beta \lt \alpha\varphi(\beta)\to \varphi(\alpha))\to\forall \alpha\varphi(\alpha)}$

ここに、 ${\varphi}$ は集合論言語の論理式

数学的帰納法は自然数上だけだけどこっちは順序数上の帰納法。

これのおかげでめっちゃたくさんのことが示せる。

順序数はこんな感じ。

次は基数を定義したい。

その前に濃度を定義する。

定義(濃度)

集合 ${A}$ の濃度とは ${A}$ との間に全単射を持つ順序数で最小のものをいい、 ${|A|}$ で表現する。

最小のものが常に取れるというのは順序数が整列してるから。

この定義だと常に集合に濃度が入るかどうかがわからない。

けど選択公理があると任意の集合は整列するから定理よりある順序数が存在して全単射(順序同型写像)が取れる。ので常に濃度は存在する。

けど選択公理がないと整列不可能集合があるからこれの濃度がわからんという話があるけど今は選択公理があるので気にしない。

で、基数の定義が出来る。

定義(基数)

順序数 ${\alpha}$ が基数であるとは濃度がそれ自身と一致する、すなわち ${|\alpha|=\alpha}$ なることを言う。

例

有限順序数はすべて基数

${\omega}$ は基数だが ${\omega+1}$ は基数でない。

言い換えると自分より小さい順序数との間に全単射を持たない順序数が基数。

上の例だと ${\omega}$ より小さい順序数は有限だから明らかに全単射を持たない。けど ${\omega+1}$ は ${\omega}$ との間に全単射が存在するから基数ではない。

基数全体の固有クラスを ${CN}$ で書く。有限順序数は全部基数で有限基数を除いた無限基数全体の固有クラスを ${ICN}$ と書く。

さっきの定理から ${\langle ICN,\in\rangle}$ と ${\langle ON,\in\rangle}$ の間に順序同型写像が存在する。

これを ${\aleph:ON \to ICN}$ で書く。この対応で得られる ${\aleph_{\alpha}}$ をアレフ数という。

${\aleph_{\alpha}}$ は順序数でもあるからこれを順序数として使うとき ${\omega_{\alpha}}$ で書く。

無限基数は3種類に分類できる。

定義

${\aleph_{\alpha+1}}$ の形をする基数を後者基数という。

これは ${\aleph_{\alpha}}$ の直後にある基数。また、 ${\kappa}$ の直後にある後者基数を ${\kappa^{+}}$ で表現する。

定義

${\delta}$ が極限順序数の時 ${\aleph_{\delta}}$ を極限基数という。

例

${\aleph_{\omega}}$ は極限基数。

定義(共終数)

順序数 ${\kappa}$ に対して ${cf(\kappa)=min\{|x|\mid x \text{ is unbounded in }\langle\kappa,\in\rangle\}}$ を ${\kappa}$ の共終数(cofinality)という。

これが何かというと ${\kappa}$ は ${\in}$ に関して順序構造を持っているからこれに関して非有界部分集合を考えることができる。それの最小濃度が共終数。

極限順序数 ${\kappa}$ の非有界部分集合の上限を取ると ${\kappa}$ と一致するから非有界部分集合は ${\kappa}$ に収束する順序数の列。

なので ${cf(\kappa)}$ は ${\kappa}$ に収束する列の長さで最小のものを表す。

例

${\alpha+1=\alpha\cup\{\alpha\}}$ の共終数は1

後者順序数は最大元があるから共終数は1。

例

${cf(\aleph_{0})=\aleph_{0}}$

${cf(\aleph_{\alpha+1})=\aleph_{\alpha+1}}$

${cf(\aleph_{\omega})=\aleph_{0}}$

${cf(\aleph_{\omega})}$ については ${\{\aleph_{n}\mid n \in \omega\}}$ が非有界部分集合になるから。

気持ちとしては ${\aleph_{\omega}=lim_{n\to \omega}\aleph_{n}}$ という感じ。

こういう基数は自分より小さい基数が小さい個あったときそれらから表現することができる。

けど ${\aleph_{0}}$ より小さい基数は全部有限だから同じことは言えない。

なので ${\aleph_{\omega}}$ は少し変わった性質を持つ。

定義

${cf(\kappa)=\kappa}$ なる無限基数 ${\kappa}$ を正則基数、そうでないものを特異基数という。

例

${\aleph_{0}}$ は正則基数

後者基数はすべて正則基数

極限順序数 ${\kappa}$ に対し ${cf(\kappa)}$ はすべて正則基数

${\aleph_{\omega}}$ は特異基数

なので無限基数は次のように分類される。

${\text{無限基数}\begin{cases}\text{後続基数}\\ \text{極限基数}\begin{cases} \text{正則基数}\\ \text{特異基数}\end{cases}\end{cases}}$

参考文献

田中尚夫,"公理的集合論",現代数学レクチャーズB-10,培風館,1982

2016-10-25

基数のべきを調べたいという話その1

特異基数等

せっかくtexを使えることが判明したので数学の話を書きます。

めっちゃ長くなっちゃったので分割して投稿しよう。

(追記)ZFCの無矛盾性は仮定します

(追記2,2016/10/26)各定義をまとめました

順序数と基数の話 - 尊みで飯が食える

特異基数問題と呼ばれるものの話がしたいです。

特異基数問題について話すためにまずはCardinal Arithmeticの話をします。

Cardinal Arithmeticはその名の通り基数の演算について調べる分野です。

基数ってなんじゃらぽんというと集合の濃度を表す数です。 ${ \aleph_{0}}$ とか ${\aleph_{1}}$ とかのアレです。

ちゃんと言うと濃度が自身と一致する順序数を基数と言います。表記として ${\alpha}$ 番目の無限基数が ${\aleph_{\alpha}}$ です。

で、無限基数の演算を考えることができます。有限基数の場合は普通の足し算掛け算と同じです。

無限基数の演算には和、積、べきがありますが和と積はめっちゃ簡単。

なんでかというと ${\kappa+\lambda=\kappa\cdot\lambda=max\{\kappa,\lambda\}}$ だからです。わかりやすい！

なのでべきを調べるのが主な目的です。これはめっちゃ難しい。

最初に基数 ${ \kappa }$ のべき ${ 2^{\kappa} }$ ってなんじゃらぽんというとべき集合 ${ \cal{P}(\kappa) }$ の濃度です。

もっと一般に ${\lambda^{\kappa}}$ は ${\{f|f:\kappa\to\lambda\}}$ の濃度として定義されます。

${ 2 }$ は2元集合なので ${\{f|f:\kappa\to 2\}}$ は特性関数全体と対等でこの定義はべき集合の濃度で定義するやつの一般化です。

なんでこれが難しいかというと、めっちゃ知られている事実として連続体仮説 ${ 2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1} }$ はZFC上独立です。

もっと言うと ${ 2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}}$ と仮定しようが ${2^{\aleph_{0}}=\aleph_{2016}}$ と仮定しようがZFCとは矛盾しません。

かなーり好きに仮定してよいのです。

私は三者三葉が大好きなので語呂合わせて34834番目の無限基数を連続体濃度に、つまり ${2^{\aleph_{0}}=\aleph_{34834}}$ を仮定しても無事数学は展開できます。実数が三者三葉個あって幸せですね。ちなみに ${2^{\aleph_{0}}}$ は実数全体の集合 ${\mathbb{R}}$ の濃度なので連続体濃度と言います。

実数の濃度がヘンテコなことになってて困る！つらい！連続体仮説最高！ということは自分は全然聞いたことないけど積分の話でちょっと変なことが起きることがあるとかどっかで聞いたかも。

それなら私は ${\omega}$ が好きだ！というあなたは残念ながら ${2^{\aleph_{0}}=\aleph_{\omega}}$ を仮定することができません。 ${ 2^{\aleph_{0}}\not=\aleph_{\omega}}$ がZFCから証明できるので矛盾してしまうのです(K\"onigの定理)。