2017-04-05

まんが4コマぱれっと5月号の末続このはでえっええぇうええぇとなった話

オタク記事

あっ、今月号のネタバレあります。

ネタバレはあるけど中身はないです。

ちゃんと前置きしたので。

先日ぱれっと5月号を買ってきました。

で今月号の未確認で進行形を読みまして。

人気投票回の続きでして。

誰に投票する～みたいな話題で末続このはが仁子ちゃんに入れると言って最高に幸せな気分になっているときにですね、

末続このはが急用とのことで母に呼ばれましてね、

「えっ、もしや転校とか...？」みたいな不安を持ったり、少なくともポジティブな内容そうではなかったのでちょっと心配してたわけです。

その内容がですね、

お見合いだったのです.........................！！！！！！！！

えええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええええ

マジで

ひょえ～

ちょ、ちょっと待ってください末続はまだ恋の味も経験していないのですよ！！！！！！！！！！！！！！！！！

なんてこったパンナコッタというやつですよ........

ど、どうすればいいんだ

死んでしまう

お前お前お前、同族とは言えまさかのお相手はショタだと

このはお姉ちゃん～ってか～そうか～いやうんわかるわかるめっちゃ良い

うん良い良さみが深いのがわかる幸せってやつじゃんHappy Endかよ

まぁお見合いと言っても双方の紹介程度らしいですが。

というわけではなくてですね

末続がお見合いでゴールインしたとしたらまぁそれはそれで幸せだと思うのですよ。

だから問題ないのでは？我々が願っているのはあくまで末続このはの幸せなわけです。幸せになってくれるなら何でもいい...！！！

のか！！！本当にそうか！！！

あの小紅ちゃんと白夜くんのイチャイチャっぷりを見せつけられて意識しまくっている末続が恋の味を知らずにゴールインで２人の子宝に恵まれて晩年というのはなんというかそのそのその

あんまりにもあんまりすぎませんか！お前１度くらいときめけよ！ラブコメ！ラブコメを要求します！

仮にどういう結末をたどることになったとしても恋の味を知って小紅ちゃんと白夜くんの気持ちを理解して変な意識を捨て去ってからにして欲しいものです。

あ～も～でも正直このはお姉ちゃんは見てみたいです。そりゃね。そりゃそうですよ。

あーでも絶対お姉ちゃんって呼ばれることに浸る～～～浸りそう～～～あれっでも末続このはって長女ですよね。妹か弟がいるかどうかは知らないけどすでにこのはお姉ちゃんなのかもしれません。

しかしな～おねショタか～～

いやそんな話はしていないのです。

しかし末続この話受けるんですかね。

いやまぁ、母の言いつけだけで白夜くんに「結婚して」というくらいだし多分受けるとは思うのですが、

決定までの過程がどうなるのかが気になる～～～超超超気になります。即決断する可能性もあるけど、それはちょっとあんまりにも展開が急すぎます。私のようなラブコメオタクは1瞬で決断されてしまうと脳が破裂してしまうのです。

超～～悩んで欲しい.....

仁子ちゃんに相談してほしい..............................................................................................

どうすればいいんだろうって言ってほしい...............................................................

なんなら仁子ちゃん嫌なら断っちゃえば？とか言ってほしい.................................

しかしまぁ何がどうあろうとこの世の全てが敵みたいな展開にはならないと思います。

むしろこの後どうしたらこの世の全てが敵展開になるのか。

勝手に鬱展開を予想して落ち込む私は一体なんなんだろう。

まぁそんな自分語りはどうでもよくてただ末続に恋をしてほしい

そうなんですその１点に尽きるのです！末続このは１度でいいから恋をしてくれ

しかしそういう経験が一切ないのも末続このはの魅力の1つだと思います。二律背反～～～

等と供述していました。

あっ、一切触れてませんが今月号の小紅ちゃんと白夜くんはとても良いラブコメでした。圧倒的感謝...

そんな感じで5月22日は未確認で進行形8巻の発売日です。やったー嬉しいですね。

2017-04-04

基数演算の話その2

特異基数等

こんにちはこんばんは。

前回は無限基数の「有限項」の和、積の演算に関しては大体自明ということを示しました。

今回は無限項の演算を考えるうえで重要になるKonigの定理を紹介しようと思います。

Konigの定理は次です:

定理(Konig)

${\sum_{i\in I}\kappa_{i}\lt\prod_{i\in I}\lambda_{i}}$

これの系で例えば次が言えます:

系1(Cantor)

${2^{\kappa}\gt\kappa}$

さらにもっと大事な系があります。こっちがKonigの定理と呼ばれることもあります:

系2(Konig)

${cf(2^{\kappa})\gt\kappa}$

別の記事で ${2^{\kappa}}$ という値はZFCから決定不可能という話をしているのですが、これによると例えば連続体濃度 ${2^{\aleph_{0}}}$ について ${2^{\aleph_{0}}\not=\aleph_{\alpha+\omega}}$ ということが言えます。

というふうにKonigの定理はZFCでべきについてわかる数少ない事実を与えてくれる良いやつです。

それと特異基数のべきを調べるのに使うgimel関数についてもCantorの定理と同じことが言えるということがKonigの定理より示せます:

系3

${\kappa^{cf(\kappa)}\gt\kappa}$

Konigの定理の証明を見ていきます。

証明

任意に ${f:\cup_{i\in I}\kappa_{i}\times\{i\}\to\prod_{i\in I}\lambda_{i}}$ を取ります。これが全射でないことが示せればよいです。

各 ${i\in I}$ に対し、 ${B_{i}=\lambda_{i} \setminus\{(f(a))(i)\mid a \in \kappa_{i}\times\{i\}\}}$ とする。

${\kappa_{i}\lt\lambda_{i}}$ より ${B_{i}\not=\emptyset}$ であるから選択公理より ${g\in \prod_{i\in I}\lambda_{i}}$ で各 ${i\in I}$ に対し ${g(i) \in B_{i}}$ となるようなものが存在する。

この時明らかに ${g\not\in Rng(f)}$ 、よって全射でない。□

というわけで割と簡単に示せるのですが選択公理を使っています。

条件が落とせるかというと落とせないです。ここでは詳細は省きますがKonigの定理はZF上選択公理と同値な命題の1つです。

最後にさっきの系の証明を書いて終わっておきます。

系1の証明

${I=\kappa}$ 、 ${\kappa_{i}=1}$ 、 ${\lambda_{i}=2}$ とする。

Konigの定理より ${\kappa=\sum_{i\lt\kappa} 1 \lt \prod_{i\lt\kappa} 2 = 2^{\kappa}}$ である。□

系2の証明

各 ${\kappa_{i}\lt2^{\kappa}}$ を任意に取る。この時 ${\{\kappa_{i}\mid i \lt\kappa\}}$ が ${2^{\kappa}}$ で上に有界であればよい。

Konigの定理より、 ${\sum_{i\lt\kappa}\kappa_{i} \lt \prod_{i\lt\kappa}2^{\kappa}=(2^{\kappa})^{\kappa}=2^{\kappa}}$ である。

${\sum_{i\lt\kappa}\kappa_{i}}$ は ${\{\kappa_{i}\mid i \lt\kappa\}}$ の最小上界であるからこれは上に有界である。□

系3の証明

${\langle\kappa_{i}\mid i\lt cf(\kappa)\rangle}$ を ${\sum_{i\lt\kappa}\kappa_{i} = \kappa}$ となる ${\kappa}$ 未満の基数の列として取る。

Konigの定理より、

${\kappa=\sum_{i\lt cf(\kappa) }\kappa_{i} \lt \prod_{i\lt cf(\kappa)}\kappa=\kappa^{cf(\kappa)}}$ □

という感じで割合簡単な感じに重要な補題が示せたりします。

別の記事にも書きましたが、ZFCから正則基数のべきについて言えることは系1と系2しかないことがわかっています(Eastonの定理)。

Konigの定理はすごいなぁ、という話です。

次回があるかは知りませんがもっと具体的な基数演算の話でも書こうと思います。

ところで「魔法少女のカレイなる余生」というまんがタイムきららMAXで連載中のまんがが面白いので読んでください。

2017-01-08

薗部篠が複数人いてかつ全員の脳が繋がっていると思った話

オタク記事

あけましておめでとうございます。

私は今年もきららを読んだりきららを読んだり数学したりします。

新年初の記事はJonsson代数について書く予定でしたが急きょ薗部篠の記事になりました。

一応注意書きです。

「三者三葉」や「いちごの入ったソーダ水」等のネタバレを多分含むので気を付けてください。

あと僕が妄想してるだけなので実際の設定とはもちろん関係ありません。

あと薗部篠を妖怪かなにかだと思って話すので薗部篠ﾀｿまじ天使...って人も見ないほうがいいです。

今からなんか散々書きますが私は薗部篠好きです。

注意書きは以上です。

さて、

"薗部篠"とは三者三葉の登場人物です。

女子高生がキャッキャウフフしている光景に喜びを覚えたり洋菓子店を経営していたり元メイドだったりする人です。

容姿はメイド服でやたら幼い感じですが三十路です。

あと目を開けて立ったまま寝たり、旅行先で事件に巻き込まれ事件を解決したり、サメを倒したりするので妖怪の類ではないかと噂されています。

日々を面白おかしく生きているそうです。

「元メイド」というのは大切な要素でもともと西川家に仕えていて今でも実質葉子さまに仕えているような感じです。

葉子さまは薗部篠の店でバイトしているので本来の立場は逆です。

で、ここだけならただのなんか妖怪みたいなキャラクターが女子高生のキャッキャウフフを楽しみながら暴れているだけなのですが、実は似たようなキャラが荒井チェリー先生の別作品に登場します。

「いちごの入ったソーダ水」という作品があります。

これは葉子さまの元通っていた「迷迭香女学院」が舞台のお話なのですが、そこに"薗部茅"というキャラクターが登場します。

薗部茅はほとんど同じ見た目ですが和服です。

御代田家に仕えるお手伝いさんです。

そんなに登場シーンが多いわけではないですが、多分中身はそこまで薗部篠と変わらないです。

で、御代田家は御代田島という島の主で「島の名前がそのまま苗字」状態の大きい家です。そして御代田家はそこに住んでいます。

いちごの入ったソーダ水の登場人物の御代田こひめちゃんの実家です。

で、御代田島は所謂離島でこひめちゃん卒業時に学校全校生徒が5人というくらい子供がいないっぽいです。

で、薗部篠は多分「女子高生がキャッキャウフフしている成分を栄養に生きている妖怪」なので薗部篠と薗部茅が殆ど同じだと思うと、

薗部茅は生きていけないのでは？？？

女子高生のキャッキャウフフが足りずに存在を保てないのではないだろうか。

そう思ってしまいました。

思ってしまったのです。

え？じゃあ薗部茅はどうやって生きてるの！？

そんなに離島のJKは濃密なキャッキャウフフを提供しているのだろうか...ていうかJKが何人いるのだろうか。

薗部篠と違い葉子さまが近くにいるわけではなくこひめちゃんは迷迭香の寮です。

それに薗部篠は使用人ではないので自由に生きていますが、薗部茅は違います。普通に使用人してます。

間違いなく生きていけない...

そこで、

薗部篠が複数人いてかつ全員の脳が繋がっているのではないだろうか。

具体的に言うと「薗部シリーズが存在していて彼女たちはSonobe-networkという独自のネットワークを持ち相互に情報をやりとりすることが可能なのでは」と思ったのです。

なんか薗部篠の「薗」って最初「菌」に見えたので樹海か何かに薗部の菌床があってそこから生えてくるのでは...と思ったこともあります。

それの妄想が薗部茅という新・薗部の存在で信憑性が高まってしまった今日この頃にSonobe-networkがありそう等と思ったわけです。

Sonobe-networkの存在を仮定すると薗部茅に女子高生キャッキャウフフ情報が提供されていることになります。

そもそも、薗部篠だって昔は使用人。今ほど自由にキャッキャウフフを補給できていたわけではないでしょう。

Sonobe-network構成員全員のキャッキャウフフを集めて共有しあい、彼女たちが存在を保っていたとするとなるほどという感じです。

そして今の薗部篠はキャッキャウフフを過剰に持つのでこひめちゃんが離れていった今の薗部茅も十分生活できるのです。

そんな感じで樹海の菌床から生まれた薗部シリーズが全国の女の子のいるデカい家に仕えて今日もキャッキャウフフを求めて生きているのです。

という説。

なんか情報あったらください。

今年もよろしくお願いします。

2016-12-24

発表スライド

今年の若手の会での発表スライドを上げようと思ってたの、完全に忘れていました。

www.dropbox.com

タイトルが「2」の理由は最初に作ったやつがbeamer練習の犠牲になってしまったので2という意味です。その1は小麦ちゃんとCantorの定理しか載ってないです。

2016-11-27

はーちゃんの話その1

オタク記事

おはようございます。

この記事は大部分がネタバレなのでステラのまほうをこれから見ようor読もうと思っている方は読まない方が良いです。あと「その2」はあります。

この記事は読んでも特に良いことはないです。でもまぁ良いことあるといいですね。

私は最近良いことありました。

それは先日放送されたステラのまほう8話です。

そこで飯野水葉ちゃんことはーちゃんが満を持して登場してくれました。

はーちゃんとはステラのまほう2巻から登場するたまきちゃんのライバル的キャラです。

前の数話でもちょくちょく現れたりしてたのですが画面に写る程度で殆ど出番がなく私は「はーちゃんいないかな～～～」と同じ話を何回も再生していました。

1話の部活紹介のところでいると思って何度も見たけど見つけられなかったので多分2話の通学中で写ったシーンが最初だと思います。

1話で見つけた方は教えてください。

ところで私ははーちゃんが好きです。めっちゃ好きです。

なので「こういうところが好き！」という話をします。

再三言うと原作を一通り読んで好きなシーンを延々に話すだけなのでとてもネタバレです。

1.オタク観

第一にこれです。漫画の方でもこの雰囲気で一気に心を掴まれました。

Iri§先生を信仰に近いレベルで敬愛したり、裕美音ちゃんとのカップリング論争で次のようなセリフを挙げています：

「いつも思うけどあんた関連書籍の読み込みが―――」[1]

また、Iri§先生と参加したイベントでも次のようなセリフがあります：

「やっぱり原作にない描写をヨコシマな目線で捏造するの良くないと思うんです！」[2]

はーちゃんの作品に対する深い原作愛を感じます。4巻の裏表紙にその心情が綴られています。

しかしIri§先生に言われるまで原作にない2次創作での設定に否定的なその様は昔ながらのオタクらしい信念を感じます。

[2]のセリフがある4コマのタイトルにもなっている通り、まさに「原作至上主義みなはちゃん」です。

信念を持つオタクは素晴らしいものです。

私にも心の中に信念を持ち作品に触れているのではーちゃんのこういった姿勢に共感せずにいられません。

地球上の生きとし生けるもの全てがいつか海に還るように、私もはーちゃんのようになりたいものです。

はーちゃんはIri§先生の過去作を読んだ時「人生が180度変わった」と言っていました。

そしてそれを聖書を配るかの如く複製して人々に配ります。

単なる押し付けではなく自分の考えと尊さを説いて回るのです。

まさに使徒です。

そしてついには人の考えを一時的にでも変えてしまう[3]のです。

素晴らしいオタクです。私も好きな本を人に勧めたりしますがここまで活動的ではないです。

さらに複製本を配るだけでなく、自分がその作品をノベルゲームにすると意気込みゲームスクリプトの勉強までしてしまう[4]のです。

自分の好きなものとそれを形にすること、広めることにここまで貪欲になれるはーちゃんが私は大好きです。

2.めっちゃ純粋

もう一つはこれです。1.で話した内容はある種、はーちゃんの生き様に感銘を受けたという話なのではーちゃんの内面について好きなところです。

はーちゃんはかなり乙女というか純粋です。

例えばIri§先生と関センパイを別人だと思っているところです。

実は気付いているのでは？と思ったことはありますがそういう描写は今のところない感じです。

どう見てもモロバレ(というよりほぼ全員気付いている)のですが、「恋は盲目」みたいな感じで気付いていないと思うとまさに乙女です。

最高ではないでしょうか。

まさに恋する乙女です。恋ではない(と少なくとも僕は思っている)ですが。

理想で現実を上書きするはーちゃんの純粋さには心打たれるものがあります。

これもまた一例なのですが、Iri§先生を前にしたときの背景トーンが乙女以外の何物でもないじゃないですか。

特に愛読書にサインを貰ってそれを愛おしそうに抱きしめるはーちゃん[5]は良いです。

「嬉しい...っ」

ですよ。自分も作家さんのサイン会に参加したときがあるので気持ちはとてもわかります。

なのであそこまで喜びを表現できるはーちゃんの純粋さが私は好きなのです。

実際、表情が多いですよね。いろんな表情をします。眼福です。

関センパイと部長が形だけでもデートをする話があります。ここでキスシーンを偶然はーちゃんが目撃してしまうのですが、はーちゃんはIri§先生が秋のあばんちゅーる...とショックを受けて倒れてしまいます。[6]

こういう所からもはーちゃんの感情がとても豊かだということがわかります。

作中でも触れられている通り、なかなか感情の起伏が激しい娘です。良くも悪くも純粋さから来ているのだと思います。

他に、はーちゃんが漫画を描く場面[7]があるのですが、作風が結構ファンシーな感じらしいです。

その話は珠輝ちゃんが思わず泣いてしまう[8]くらい良い話みたいです。自分も感動を生み出していく...素晴らしいことです。

小さい頃に犬のチマちゃんを飼っていてとても大切にしていたようです。尊いです。動物好きに悪い人はいないって三者三葉でも言っていました。

チマちゃんのことを思い出すはーちゃん[9]、すごい大切な思い出なのだなというのが表情から伝わってきます。

女の子が思い出を大切にする様はいつでも美しいものです。私は生まれてきて良かったです。

なんかやたら長くなっちゃったのであとでまた続き書こうと思います。

はーちゃん大好きです。

もちろんみんな大好きなのですが、久々に好きだ～～～うおおお～～～ってキャラが出てきたので書きました。

そんなこんなです。失礼しました。

くろば・Ｕ先生、ステラのまほう製作委員会の方々、芳文社にとても感謝してます。

あとこの記事続きます。

参考文献

[1]くろば・U,"ステラのまほう(2)",芳文社,p36

[2]くろば・U,"ステラのまほう(4)",芳文社,p26

[3]くろば・U,"ステラのまほう(2)",芳文社,p43

[4]くろば・U,"ステラのまほう(2)",芳文社,p75

[5]くろば・U,"ステラのまほう(2)",芳文社,p39

[6]くろば・U,"ステラのまほう(3)",芳文社,p79

[7]くろば・U,"ステラのまほう(4)",芳文社,p14

[8]くろば・U,"ステラのまほう(4)",芳文社,p55

[9]くろば・U,"ステラのまほう(4)",芳文社,p55

2016-11-21

基数演算の話その1

特異基数等

おはようございます。

AWT48という概念が心臓を破壊していきましたが私は元気です。

もちろんこの記事は刀剣乱舞に関する話ではないです。

さておき。

今自分は基数のべきについての話を書いているのですが、その1で

「無限基数の和と積は ${\kappa+\lambda=\kappa\cdot\lambda=max\{\kappa,\lambda\}}$ でめっちゃ簡単！」

と書きました。

確かにべきの値が全く分からないことに比べれば簡単なのですが、演算の性質についてはそうでもないです。

ざっくり言うとこれは無限に関する計算を考えているので冒頭に挙げたようなことが普通に起こるのですが、それを確認するのはそんなに簡単でもないです。

なので和と積の定義をして諸々の性質を考えていきたいと思います。

注意なのですが、この話は全てZFC上の話です。

また、ここでは ${\kappa,\lambda,\mu}$ や、これに添え字付けたものはすべて基数を表すことにします。

基数の定義とかは、

mgtohakari.hatenablog.com

に書いてあります。

定義

${\kappa+\lambda:=|\kappa\times\{ 0\}\cup\lambda\times\{ 1\}|}$

${\kappa\cdot\lambda:=|\kappa\times\lambda|}$

基数の和は直和の濃度、積は直積の濃度として定義されます。また、有限の場合を考えればちょうど拡張になっていることがわかります。

例)

${2+3=|2\times\{ 0\}\cup 3 \times\{1\}|=|\{\langle 0,0\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle 0,1\rangle,\langle 1,1\rangle,\langle 2,1\rangle\}|=5}$

無限項の演算についても、

${\sum_{i\in I}\kappa_{i}=|\bigcup_{i\in I}(\kappa_{i}\cup\{ i \})|}$

${\prod_{i\in I}\kappa_{i}=|\prod_{i\in I}\kappa_{i}|}$

として定義されます。 ${I}$ は添え字集合です。なんか定義が循環して見えるので注意を書くと右側の ${\prod}$ は直積の意味です。記号の意味としては別物です。

和や積の演算について調べるには直積や直和の濃度を調べれば良いことがわかります。

これを考えるのに濃度の話を思い出します。

濃度の定義より、2つの集合の濃度が等しいとはそれらの間に全単射が存在することを言います。

2つの集合間に全単射が存在することを2つの集合は対等であると表現し、 ${A,B}$ が対等であることを ${A\sim B}$ で書きます。

選択公理があるので任意の集合 ${A,B}$ は整列可能です。

そして整列集合は順序数との間に全単射(順序同型写像)を持つので ${A,B}$ は濃度を持ちます。

${|A|,|B|}$ は順序数なのでどちらか一方への順序構造の埋め込み写像が存在します。これは単射になるので ${|A|\leq|B|}$ あるいは ${|B|\leq|A|}$ ということになります。

で、両方言える時、すなわち ${|B|\leq|A|}$ かつ ${|A|\leq|B|}$ なるときBernsteinの定理より ${|A|=|B|}$ が言えます。

また、 ${|B|\lt|A|}$ なるとき等号が言えないので全単射は存在しません。よって任意の単射 ${f:B\to A}$ は全射でないです。もっと言うと全射が存在しません。

逆に、全射 ${f:B\to A}$ が存在しないなら ${|B|\lt |A|}$ が言えます。

で、何が言いたかったかというと基数の演算はある集合の濃度で定義されていたので、基数の演算を調べるには「いい感じの写像を作る」というのが常套手段になります。

なので写像を使っていくつかの例を示していきます。

定理1

1) ${\kappa+\lambda=\lambda+\kappa}$

2) ${\kappa+(\lambda+\mu)=(\kappa+\lambda)+\mu}$

3) ${\kappa\cdot\lambda=\lambda\cdot\kappa}$

4) ${\kappa\cdot(\lambda\cdot\mu)=(\kappa\cdot\lambda)\cdot\mu}$

5) ${\kappa\cdot(\lambda+\mu)=\kappa\cdot\lambda+\kappa\cdot\mu}$

6) ${\kappa+0=\kappa}$

7) ${\kappa\cdot 1=\kappa}$

が成立する。つまり基数の和と積はそれぞれ結合律と可換律、分配律を満足しそれぞれ単位元が存在する。

証明

1) ${f:\kappa\times\{0\}\cup\lambda\times\{1\}\to\lambda\times\{0\}\cup\kappa\times\{1\}}$ を

${\langle\alpha,0\rangle\mapsto\langle\alpha,1\rangle}$

${\langle\alpha,1\rangle\mapsto\langle\alpha,0\rangle}$

として定義する。これは明らかに全単射だから ${\kappa+\lambda=\lambda+\kappa}$ である。

2)~4)もほぼ同じ。5)は集合演算の分配律を考えればよいです。6)は ${\emptyset\times\{1\}=\emptyset}$ であるから良い。7)も1元集合との直積は元の集合と明らかに対等なので良いです。□

また、次が言えます。

定理2

1) ${\kappa\leq\lambda}$ なら ${\kappa\cdot\mu\leq\lambda\cdot\mu}$

2) ${\kappa,\lambda\lt 0}$ なら ${\kappa+\lambda\leq\kappa\cdot\lambda}$

証明

1) ${f:\kappa\to\lambda}$ を単射として ${\mu}$ 上の恒等写像との積で得られる写像は明らかに単射。

2) ${\kappa=1}$ の時はあきらかなのでそうでないとする。

${f:\kappa\times\{0\}\cup\lambda\times\{1\}\to\kappa\times\lambda}$ を ${f(\alpha,0)=\langle 0,\alpha\rangle,f(\alpha,1)=\langle 1,\alpha\rangle}$ とすればこれまた明らかに単射である。□

わりと「それはそう」感が強いのでそれほど自明でない例を考えます：

定理3

任意の無限基数 ${\kappa}$ に対し ${\kappa\cdot\kappa=\kappa}$ が成立する。

証明

次の主張から直接得られます：

主張

任意の無限順序数 ${\kappa}$ に対し ${\kappa\times\kappa\sim\kappa}$ が成立する。

主張の証明

${\kappa=\omega}$ であるときは ${\mathbb{N}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ なる全単射が存在することは良く知られているので ${\kappa\gt\omega}$ なケースを考えます。

「 ${\kappa\times\kappa\sim\kappa}$ でない」無限順序数 ${\kappa}$ が存在したとします。

「」内の性質を(*)と置いておきます。

${\alpha}$ をそのような順序数で最小のものとする。

${\alpha\to\alpha\times\alpha}$ なる単射の存在は明らかで仮定より全単射が存在しないから ${|\alpha|\lt|\alpha\times\alpha|}$ 。

このとき ${\alpha}$ は基数となる。もしそうでないとすると ${\beta\lt\alpha\land\beta\sim\alpha}$ なる順序数 ${\beta}$ が存在する。

${\alpha}$ は(*)を満足する最小の順序数であるから ${\beta\times\beta\sim\beta}$ である。

しかし、 ${\alpha\times\alpha\sim\beta\times\beta\sim\beta\sim\alpha}$ であり矛盾。

よって、 ${\alpha}$ は基数である。

次に ${\langle\gamma,\in\rangle\simeq\langle\alpha\times\alpha,\lt_{L}\rangle}$ なる順序数 ${\gamma}$ を考えます。ここに, ${\lt_{L}}$ は2つの ${\langle\alpha,\in\rangle}$ から出来る辞書式順序。

事実として認めてしまうのですが、この ${\gamma}$ は一意に存在します。(ここでは話しませんが、順序数の演算というのも定義されていてこの ${\gamma}$ が一意に存在することから順序数の積を定義したりします。)

また、この ${\gamma}$ について、 ${|\alpha|\lt|\alpha\times\alpha|=|\gamma|}$ より ${\alpha\lt\gamma}$ 。

これより、 ${\alpha}$ は ${\gamma}$ の始切片なので ${\alpha\times\alpha}$ の始切片と同型になる。すなわち次を満足する ${\langle\xi,\eta\rangle\in\alpha\times\alpha}$ が存在する:

${\langle\alpha,\in\rangle\simeq\langle\{\langle\xi',\eta'\rangle\mid\langle\xi',\eta'\rangle\lt_{L}\langle\xi,\eta\rangle\},\lt_{L}\rangle}$ ...(1)

ここで, ${\delta=\xi\cup\eta +1}$ なる順序数を考えます。この ${+1}$ は順序数の後続を取るという意味で基数の演算ではないです。

順序数は小さい方が大きい方の始切片となるから ${\xi\cup\eta}$ は ${\xi\lt\alpha}$ あるいは ${\eta\lt\alpha}$ となる。また ${\alpha}$ は無限基数でありすなわち極限順序数。

極限順序数は後続を取る操作で閉じているから ${\delta=\xi\cup\eta+1\lt\alpha}$ であり、かつ ${\langle\{\langle\xi',\eta'\rangle\mid\langle\xi',\eta'\rangle\lt_{L}\langle\xi,\eta\rangle\}\subseteq\delta\times\delta}$