2017-12-20

一番基本的なPrikry type Forcingのざっくりしたノート

特異基数等

ゼミのノートを上げようと言うやつです。

実はゼミのノートは結構な量があるのですが、まとめて作ったら誤植のオンパレードになって大惨事なので、最初から無理せずこうやって小分けにして書けばよかったのです。

内容なまぁよくあるPrikry type forcingです。

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2017-12-04

Gitik-Sharonモデルについて

特異基数等

おはようございます。

ゼミでGitik-Sharonモデルの紹介をして資料を作ったので公開しようかと。

これからGitik-Sharonモデルを勉強したい！と思っている人が読むと「この話は一体どこの論文に載ってるんだ...」という時に参考になるかもしれません。

www.dropbox.com

まぁ詳細はイントロ読んでくれって感じですが以下で超不親切な解説をします。

まず特異基数に関する組合せ論的原理で有名な論文として次があります：

Cummings-Foreman-Magidor,"Squares, Scales and Stationary reflection"

ここでは色々な事が書いてあるのですが、

まず次の導出関係のいくつかが書いてあります：

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さらにこの論文では、次の問題が挙げられています：

Question ${VGS_{\kappa} \to \square_{\kappa}^{*}}$ かどうか？

また、他に別の文脈で次の問題も挙げられています(どの論文で挙げられた問題かはわからなかったけどどうやら議論の最中に出た類の問題らしく、これといって参考文献はないらしい)：

Question(Woodin) ${\lnot SCH_{\kappa}\to \square_{\kappa}^{*}}$ かどうか？

これは例えば可測基数によるPrikry type forcingが ${\square_{\kappa}^{*}}$ をforceするので一番単純なSCHが破壊されたモデルにおいてその状況が成り立っていたり、

supercompactより上ではSCHが成り立つけど ${\square_{\kappa}^{*}}$ が破れることを考えれば自然な疑問ではあると思います。

あと少なくとも逆が言えないことは明らかなので。

で、Gitik-Sharonのモデルは上の2つのQuestionの回答がNoであることを与えました。

具体的に示したのは次：

Theorem(Gitik-Sharon)

${\kappa}$ がsupercompactであるとき、次を満足するような強制拡大 ${V[G]}$ が存在する:

${\lnot SCH_{\kappa}}$

${\lnot AP_{\kappa}}$ (特に ${\lnot\square_{\kappa}^{*}}$ が成立する)

${VGS_{\kappa}}$

これの証明が書いてあるというpdfです。

2017-11-16

叡山電鉄のブレンド・Sコラボ見に行けたのでまとめ

オタク記事

おはようございます！

アニメ、ブレンド・Sが放送開始してもう1ヶ月半経ちますね。びっくり。

5,6話はまだ見れていないのではやく見たいのですが満を持さねば見れないタイプのオタクなので色々と悩んでいます。

絶対に万全を期して見たい。ひでりきゅん回でこういうことになると万全を期す準備ができなさそうなので絶対にリアタイで爆発したい。

で、なんで5,6話が見れなかったかというと京都に行っていたのです。

しかしお陰で叡山電鉄に行くことが出来ました。10月10日から開始したというブレンド・Sのコラボを見てきました。

のでそれをまとめようという話。

出町柳駅

京都駅から一番近いっていうか順当に来たら普通叡山電鉄にはここから乗ると思います。おそらくここが始点です。

なのでスタンディとかもここにありました。

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ひでりきゅんと美雨さんの声優さん、徳井青空さんと種崎敦美さんのサインが置いてあったり叡山電鉄の社員さんの作ったきんモザの謎人形のあみぐるみがあったりしました。

あみぐるみが可愛い。写真撮ればよかったです。愛を感じます。

あとNEW GAME!とのコラボもしているので青葉ちゃんにも会えました。

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結構この時点で満喫している。

来るまでは知らなかったんですけど、コラボ内容のポスターって各キャラの紹介ポスターみたいなのが駅ごとに貼ってあるんですよね。

まず出町柳駅にはひでりきゅんがいました：

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とても可愛い。電話番以外PV２の「よろしくでっす」しか聞いていないハズですがその声が脳をよぎります。

実は改札の所に苺香さんのポスターが青葉ちゃんポスターと並んで貼ってあったのですが、これは紹介ポスターというよりコラボ内容のポスターでした。

あと今回、コラボ切符がなかったわけですがその理由も書いてありました。

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そういう理由があるなら仕方ないですねって感じはする。

他に有頂天家族とのコラボもやっていたみたいで出町柳駅には色々置いてありました。ここだけ見てるだけでも結構楽しい。

でも駅なのでもちろん電車に乗りました。かの「きらら」です。

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これに乗ったり乗らなかったりしました。

八瀬比叡山口駅

初日は人と行動していたので鞍馬には何もないからこっちに行こう、という提案の元叡山本線に乗りました(叡山電鉄は宝ヶ池駅から叡山本線と鞍馬線に分かれる)

こっちには苺香さんがいました。ここでキャラ毎のポスターは撮り忘れてしまったのですが、苺香さんは修学院駅にもいたのでそっちにまとめようかと。

ちなみにここではズラッと並んだポスターを見れました。

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あとせっかくなので近くの山的な場所を散歩したのですがとても気分が良かったです。

そういえば帰りに宝ヶ池駅(？)できんモザポスターも貼ってありました。

で、初日はこれくらいで後日鞍馬線の方も乗ってきました。

修学院駅

修学院駅には麻冬さんと苺香さんがいました。

キャラ紹介ポスターが貼られるのは有人駅なのかなと思いつつ、

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西日的なアレでめっちゃ光が反射してしまったのとてもつらい。

麻冬さんの素のセリフが好き。個人的に一番接客時と通常時のギャップを感じるのが麻冬さんです。

麻冬さん夏帆ちゃん姉妹回での麻冬さんのなんともいえない溜息とかが好きなのでああいう一面をポスターに乗せてくれて嬉しい。

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実は諸々あって修学院駅に３回くらい訪れているのですが、おかげで思わぬ罵倒というか見下しをいただけました。

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「昨日もいらっしゃいましたよね(笑)」

はい...としか言いようがないです。ハッピー

二軒茶屋駅

修学院駅から何駅か鞍馬線を乗っていると二軒茶屋駅に着きます。

自分が見たやつだと電車は鞍馬行きか二軒茶屋行きの2つで、おそらく二軒茶屋は有人駅だしポスターもあるだろう、と思って行ったら予想通りでした。ここでは美雨さんがいてくれました。

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きららちゃん×きららちゃんとか考えてるしきっと擬人化きららちゃん(電車)ときらファンきららちゃんの薄い本を出してくれるのでしょう。

しかし美雨さんのお姉さん感本当にすごいですね。色気的な意味ですごい。

私はお姉ちゃんというとD.C.2.の音姉とかTo Heart2のタマ姉を思いつくタイプのオタクですけど、そういう括りではなく"お姉さん"なんですよね。

子供の頃、近所に住んでいてたまに勉強を見たり遊んだりしてくれて、憧れていたような...いや私は幼少期近所にお姉さんはいませんでしたけど。

アニメでもそういう雰囲気が遺憾なく発揮されていて、むしろアニメならではの艶かしさとかが感じられているのでとても良い感じです。

よい映像をありがとうございますって感じです。

鞍馬駅

残るは夏帆ちゃんポスターを見るだけ！となったのですが結局鞍馬まで来てしまいました。

鞍馬行きの時に時期的にもみじのトンネルのライトアップをしていたらしく、車内の電気が消えてライトアップが見えたのはキレーでした。コラボ関係なくまた来たいと思ったポイントです。

鞍馬駅はホームから降りて待合室に行く感じなので駅についてホームからポスターが見えなかった時は正直焦りました。

でもちゃんと待合室にあった！良かったです。

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少しピントが合っていない...何をしているんだ...

なんと夏帆ちゃんに関する重要な情報が載っていました。

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ちなみにデト1000形とは

eizandensha.co.jp

旅客車両ではないみたいですけどかっこいいですね。

というわけで一応全部見れてハッピーでした。回りすぎたらしく帰りの新幹線代が尽きて夜行バスで帰りました。

まあ帰れたので良かった。

コラボヘッドマーク

なんで何度も見に行ってるの、というとまぁ何度も見たかったというのはもちろんあるのですが、鞍馬線と叡山本線に乗った時にコラボヘッドマークを見れなかったんですね。

なので最終日はこれを見るために粘ってました。いうてすぐ来てくれて良かったです。

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キービジュ１,2弾なのでおそらくこれで全部だと思います。もちろん電車に乗ったのですが、中には広告もあって良い物を見ました。これもあることを知らなかった：

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「ブレンド・S」BD,DVD第1巻発売日は12月27日ですよ！私はもう予約しました。

広告は実は他にも２種類あったみたいなんですよね。

これはtwitterで見ました。

というわけでまとめでした。楽しかったです。

さておきアニメブレンド・S、ずっと騒いでいるように良いアニメなので色々な人に見て欲しいです。京都でも原作を配ったりしていました。こういうことをしているから帰り新幹線に乗れなくなるのです。

今はちょうど６話で折り返しですね。ひでりきゅんが出てきてからもっとスティーレは賑やかに、店長と苺香さんのラブコメが輝いてくると思うのでこれからもとても楽しみです。

原作の方も、今月号のキャラットとかとても良かったですね。え？原作読んでない？

なんと４巻が先月まで収録なので４巻まで買って今月号(12月号)を買えばすぐ連載分に追いつけちゃうんですね！

しかも12月号にはめっちゃ可愛いクリアファイルがついてくるんですよ！買わない意味がわからない...

今月のラブコメの波動を一刻もはやく共有したいのでこういうことばかり言っています。是非読んでください。

2017-11-03

発表スライド

特異基数等

若手の会2017お疲れ様でした。

発表したので発表スライドです。

一応誤植というか確認できたタイポを訂正して、最後の部分をちょっとだけ訂正した版です。

一番基本的なPrikry type forcingが基数を保ち可測基数を特異基数化する証明のアウトラインみたいなのが載っています。

ここでは証明していませんが、発表最後で質問があったところで、正規性を仮定するとPrikry conditionの証明が簡単になります。

しかし、仮定しなくても頑張ってultrafilterの計算をすれば出来ます。

GitikのHandbook articleに書いてあるので興味があれば是非〜

www.dropbox.com

Prikry type forcingの図はalg_d先生のおかげです。本当にありがとうございました。

2017-10-08

アニメブレンド・SのOPがとても良かったという話

オタク記事

こんばんは！もう朝ですが。

10/7日、ついにブレンド・Sの放送が開始しましたね！

例のごとく何度も繰り返して見てるんですけど、良すぎて全部の感想を書くのが無理という話で、twitterでダラダラ書いてたらなんかTL占領してたのでそれならせめてOPの好きな所でも書こうかと思った。という話です。それ以上の話はしません。

ていうか、OP好きすぎてここが好き〜的な話を延々としたいのでたとえ語彙力0でも思いを文字に乗せて気を落ち着けてから寝ようという魂胆です。

どちらかというとこれは私がダラダラ書きたかったという話なので読んでも「〜がカワイイ」とかそういうのしかないのでとてもアレです。

あ、OPだけですが、一応原作がどうこうの話をしたりしてネタバレになるので読まれる方は注意です。

タイトルロゴが出る前のところ

のところですが、最初はよくアニメであるOPでキャラクター紹介をするやつからスタート。

苺香さん→夏帆ちゃん→麻冬さん→美雨さん→ひでりきゅん→店長と秋月くん

という順番で曲の「Smile！」「Sweet!」「Sister!」「Sadistic!」「Suprise!」「Service!」の掛け声と共にキャラクターが紹介されます。全部Sですね。

めっちゃ軽やかです。曲と合わせてリズムが良いです。

夏帆ちゃんの胸が揺れてたりぴょこって出てくるひでりきゅんがめっちゃ可愛い。

で、「うぃーあースティーレ！！」って掛け声と共にジャンプ！ここからスタートです。

麻冬さんや苺香さん、美雨さんは控えめな感じのジャンプで、夏帆ちゃんとひでりきゅんと店長は元気ではっちゃけた感じのジャンプです。

表情も＞＜でカワイイ。

オーナーと秋月くんは棒立ちジャンプみたいな感じで(犬の標準的ジャンプを知らないけど)各キャラクターの性格を表してますね。とても良いです。苺香さんの笑顔が良いです。

結構情報量があるような気がしますが、ここだけで7秒くらいです。かなり濃縮されてます。でも超爽快なのでなんかもうここだけでも何度も見たいくらいです。

で、ジャンプと同時にメインキャラ5人の色の☆が溢れて画面をうめつくして、

☆が晴れるのと同時に5色のラインが登場して、曲のイントロと合わせるように起動を描いて、画面外に消えたかと思ったらタイトルロゴを突き抜けていってタイトルが出ます。

タイトルロゴもいきなり出てくるわけじゃなくて少しずつ文字が生成される感じ(?)。

イマイチ伝わりにくいですが、文字が書かれる、でしょうか。ラインが突き抜けるのとほぼ同時に文字が完成してスティーレのロゴにコーヒーが注がれてロゴの完成！

この時点でかなり動きのあるOPなので、タイトルロゴもこうやって動いてくれると見てて気分が良いですね！

タイトルロゴ表示〜ぐるぐるするところの前

タイトルロゴはそのまま消えるわけじゃなくて、ロゴの「ブレンド・S」が表紙の本が開かれて、飛び出す絵本みたいにスティーレ前の町並みが出てきて苺香さんの出勤です。

「さあ、扉をあけて」の歌詞と共にスティーレの扉を開ける苺香さん。

ここで扉に原作者の中山幸先生の文字と芳文社「まんがタイムきららキャラット」連載中の文字！

さっきもツイッターで騒いでたのですが原作を買っているとこういうのを見てアニメ化を実感するわけです。これだけで超嬉しいし高まります。

私はアニメ化決定してから読み始めたクチですが、とても楽しみだったので「本当にアニメ化したんだなぁ」と感涙してしまう。

ここはまぁOPの感想ではないんですけど。

で、出勤した苺香さんを迎える面々、ここでも夏帆ちゃんの胸が揺れている...

ここの麻冬さん大人っぽくてステキですね。

店長の嬉しそうな顔とか見てるとこれがいつもの日常なのだな、と思ってとても良い気分。

その後に苺香さん、夏帆ちゃん、麻冬さんの3人はロッカー前に行くのですがここで扉からぴょこっと出てくる美雨さんとひでりきゅん。

こっそり覗く(?)ように見てるのカワイイです。着替え中だったらひでりきゅんはアウトですけど。

ひでりきゅんと美雨さんはもう制服なので先にシフトが入ってたんですかね〜それで3人がシフトに入るから見に来たとか？

そこでロッカーを開けて3人が制服に変身！別に変身バンクがあるわけじゃないですけど(それはEDにあるのでとても良い)

ここの制服になった時の3人のポーズなんというかよくしてるイメージのあるポーズですけど、やっぱりキャラクターのイメージがついてるので良いですね。

麻冬さんの腰に手を当てるポーズ、イベントでも春野杏さんあんまり手を組んだりしてなくてこういう感じが多かった気がします。

ていうかブレンド・Aの3人とも、立ってる時のポーズが割とキャラクターに合わせたポーズなのかな？と先日の上映会でわりと感じました。

苺香さんもよく両手を胸の前で合わせてたりしますよね。このポーズ好きです。

その後の店長と秋月くんのカットに写るんですけど、店長がオーナーに飛びかかられててカワイイ。

ちょうど流れる歌詞が「ほっこり日常にちょっぴりスパイス」のほっこり日常の方なんですけど、なんやかんやオーナーに懐かれて(?)て良いですね〜

あと店長と秋月くんが背中合わせになってるんですけど、秋月くん店長より結構身長低いんですね。かわいいです。

歌詞通りのほっこり日常じゃんって感じなんですけど、ちょっぴりスパイスの方は美雨さんのカットでちょっとえっちですね。ポーズが扇情的〜

あと足にスタッフ名が書いてあるんですけど、こういうのTo LOVEる思い出しますね。

わりとよくある表現なのかもですが、自分の中で一番最初に見たのがそれで、To LOVEるもえっちなやつですけど美雨さんもかなりえっちなのでとても良いです。

あとこれはかなり好きなところで、最初は美雨さんハイソックス履いてるんですけどそれをひでりきゅん人形が脱がしてお御足が見えるというやつなんですね。

曲に合わせているのと冒頭同様で、割と一瞬なんですけど本当に好き。わりと全部脱げちゃってるんですけど、脱げるところは結構一瞬でえっちですね。

割と写ってる時間も短いので、完全に生足なのにチラリズムっぽさも感じたりします。

こっちも確かにちょっぴりスパイスって感じです。

まぁ一時停止したら普通にえっちなんですけど、こういうの映像ならではって感じで良いですね

ぐるぐるするところ〜サビ直前

えっちな美雨さんの次はぐるぐるなんですけど、これなんかもう単純にカワイイですね。さっきからカワイイしか言ってないけど。

苺香さんのところでぴょこっと出てくる4人がとても良い。さっきから言うようにこの「ぴょこっ」と出てくるのが大好きなんですね。

あとドSのデフォルメ顔が超好きなので、それがぴょこっと出てくるととても良い気分。麻冬さんの表情がいつも通りなのが良いです。

店長の方はいつもの脳天気な笑顔でぐるぐる回ってて、苺香さん同様、秋月くんとオーナーがぴょこっと出てくるんですけど、なんというか男性側なのでここにひでりきゅんが居ても良かったかも？とちょっと思いました。まぁ普通にネタバレちゃうんでダメだと思いますが。

というのも、なんというかいつもの悪巧みじゃないけど男性陣のやりとりが好きという話を度々twitterでしていて、アニメでももちろん楽しみなわけです。

ないでしょうけど、そういう回のOPで男性陣のぴょこっにひでりきゅんが加わったりしたら個人的には優勝です。

完全に趣味なんですけどこのデフォルメ顔のくるくるするやつ卓上に欲しいですね。

専攻上映会で歌詞の「ぐるぐるかき混ぜちゃうんだ」を聞いた時「OPで何がぐるぐるするんだろう...」と思っていたら苺香さんと店長だったという話。

本編でも店長ぐるぐる回ってましたし良いですね！その直後に苺香さんに迷惑をかけるところまで完全に再現されている...

いやその意図があるかどうかはちょっとわからないですけど。

その後に何故か床で寝る店長に躓き苺香さんコケるわけですが、歌詞が「サービスサービスご褒美タイム」なので多分違いますね。

原作だったら店長は泡吹いて倒れてたわけです。いやしかしある意味ご褒美なのか...？いや流石にこじつけかなと思います。

で、いよいよサビに入るところ！

おもてなし、心込めて〜〜の高揚感すごく良いですね。

5人並んだ時の準備完了感がとてもすき。並んだ5人がとても頼もしく見えます。

しかしバイアスのせいもあって麻冬さんが一番頼もしく見えてしまいます。

ところでオムライスのエ♡サの♡、苺香さんがあの目で書いてるところを想像するとなんだか良いものがあります。BBQ回のマグロの目を取り出すような雰囲気で書いてそうです。

サビ入った瞬間のところ

「Welcome to」の歌詞の通り開店ですね！準備完了して接客スタートです。

ここに来てようやくキャラクター達の"属性"が見れます。

最初素の苺香さんがいたと思ったらすぐドSの顔になるんですけど、後ろに素の苺香さんもいるの良いですね。

最初のキャラクター紹介のところみたいなめまぐるしい場所その2で、また

苺香さん→夏帆ちゃん→麻冬さん→美雨さん→ひでりきゅん

の順番に属性が見れるという感じ。

他のキャラも苺香さんと同じく、素の状態から属性モードになって、でも後ろに素の面影が残っている...みたいな感じです。あと属性モードになるとき☆が控え目に飛び出すの好きです。

背景の色もキャラクターの色になってますね。「○○のターン！」感が好きです。それぞれに順番にスポットライトが当たる感じ良いですね。

苺香さん素の状態がものすごく可愛らしい物腰柔らかな顔から例のドS顔になるというギャップが大きいのと、何より一瞬なのでわかってても結構ドキッとしてしまいます。

夏帆ちゃんは次の麻冬さんに写るときに「ふんっ！」みたいな感じでぷいってフェードアウトするのがとても好き。何が好きかってその属性のままフェードアウトするの、一番それっぽかったので。

仕事中の「次は麻冬さんの番ね！」感が感じられて良かった、という話です。

それとピースが可愛かったです。

麻冬さんフェードアウトするときもウインクしててすごくカワイイ...きゃるる〜んって感じ全開で...

その後美雨さんですけど、とてとて走ってきてお姉さんオーラ全開になるの本当に強いですね。

指を唇にあてるのって本当に良いものだと思うんですよ。我々は指先と唇から目を離せなくなるわけです。まぁ一瞬なので離せないとかはないんですけど

ところで美雨さんが持ってる本の表紙、よく見ると店長っぽい雰囲気の人と苺香さんっぽい雰囲気の人がいるのでもしかして最近の掲載分で書いてた美雨さんの本完成した...？

どちらにせよ、美雨さんにはアニメでも変わらず苺香さんと店長の間にイベントを起こして欲しいと思いました。

この一連の流れ、めっちゃ超スピードで流れるのに情報量が濃くてスゴイです。何度も繰り替えして見たくなって何度も繰り返して見ちゃいました。

最後のひでりきゅんだけなんか属性モードみたいなのにならないんですけど、

これはフォロワーさんが仰っていたことで「常時属性だからな」的なことを仰っていて、

なるほど確かにその通りだなと思いました。

するとここのひでりきゅんの謎ポーズと表情、「なんかやろうとしたけど「やっぱりボクは普段からアイドルですね」」みたいな感じがしてとても良いです。

プロ意識が高い...すき...

で、その勢いが大変だったところの後のデフォルメキャラの5人がお掃除してるところ、店長が出てきてみんな吹っ飛ぶところ、飛び方がみんなそれぞれカワイイ。

歌詞の方で「あたまなでなで」がなんかすごく好きなんですよね。上手く言えないけど好きなやつです。このブログ記事全て上手く言えてない気がしますけど。

吹っ飛び方について、またプロ意識の話になるんですけどひでりきゅんが＞＜顔でスカート抑えてるの超好き...

あと美雨さんの吹っ飛び方がお姉さんオーラから来る余裕を感じます。

ここのあとの「いぇす！」も、苺香さんのお姉さんとお兄さんがポーズキメてるところ、このポーズ好きなんですよね。

この姉弟の出番どれくらいあるかな...硬い煎餅と水飲み生活のくだりはありそうだけど。

苺香さんと店長が見つめ合ってるところ

ここの店長がめっっっっっっっっっっっっっっっっっっっちゃかわいい！

勢いのあるOPのなかゆっくりと見つめ合う二人の間にラブコメの波動をそりゃ受信してしまうわけで。

二人の間にある☆が最初駅でぶつかった時のあの☆で、もしかしてこれって出会った瞬間のシーンと関係があるのでしょうか。

思いつくのは「店長がひとめぼれしたことに気付いた瞬間」でしょうか。

店長の表情がいつものだらしないというか、ヘンタイ的笑顔ではなくて心の底からの笑顔とほんのり紅くなった頬...

ゆっくり店長を見上げる苺香さんと、とても嬉しそうな店長、その瞬間の店長の心境ってこんな感じだったのでしょうか。

なんだろう、でも恋愛要素もありそうだけどこの店長の顔、本当に幸せそうな笑顔で、アニメ本編でもこんな笑顔を是非見たいですね...

その後のところ

苺香さんの笑顔がまたドSになる瞬間が見れた！なんというかわかっているのにチョロいので精神的な落差をつい感じてしまっていつでも新鮮な気持ちで苺香さんが見れる。

その後のオタクが大量に流れてるの良いですね〜極めつけに店長が宇宙を舞ってるの笑いました。

ココら辺は普通に笑ってしまって、あのスピード感でオタクとその好きな属性情報がバ〜〜〜〜ッと流れて最後臨界点を超えたかのような描写...

ここで流れてるの「ボーノボーノ」ですからね。とても美味しそうです。

なんやかんや私もオタクなので謎の親近感を感じてしまうわけです。

キミにきゅんきゅんきゅん！

きゅんきゅんきゅん！

いやここのひでりきゅん最高にカワイイです。てっきり店長が来るものだと思っていました。

ここ、可愛すぎて全コマ見てやろうと一時停止したりするんですけど驚くべきにどこで止めてもおもっくそ可愛いんですよ。

そりゃきゅんきゅんきゅんですって...死..

さておききっと美雨さんもきゅんきゅんきゅんな原稿を量産しているのだろうな...

パンチパンチパンチ！

店長が笑顔with鼻血で吹っ飛んでると安心します。

最後のところ

そして最後は全員集合後、扉が閉まるって感じでしたね。

最初に扉が開くので、最後でちゃんと閉まるっていうのやっぱり好きですね...

OP映像のストーリー性を感じることができると私はとても幸せな気持ちになります。

全員集合のところ、ちゃんとオーナーがのしのし歩いてくるの好きです。良いですね...犬....

そんな感じでした。なんかめっちゃダラダラ書いてたら6000字だ。

なんか寝るために書いてたのにこんな時間だよ！一生分のドSOPを見たのではなかろうか。

でもまぁあと無限回は見れると思います。

はやく2番も聴きたいですね〜いや上映会で聴いてるんですけど、あの1回きりなのでまた聴き直したいですね。はやくCD出てくれ〜って感じです。

2017-10-03

ω-Queen問題的なものを考えてみた話

特異基数等

真面目なブログ記事です。

↑これ訂正なんですけど、私真面目なことしか書いた覚えがなかったです。

最近Queen問題というものを知りました。

これはチェスの盤に8個のクイーンを重ならないように置けるか？という問題です。

クイーンは任意の縦横斜め方向に好きなだけ動ける、というやつです。将棋で言うなら角と飛車がくっついたような感じ。

重ならないように、とはクイーンの行動出来る軌道上に他のクイーンが存在しない、という状態です。

説明が超下手です。wikipediaのエイト・クイーン問題に画像が載っているのでそっち見てください。ごめんなさい。

で、チェス盤の大きさは8×8なのですが、これを一般のn×nにしてみたn-Queen問題というのがあります。

で、一般にnが大きくなるほど解の数が増えて組み合わせ爆発が起こるらしく、解の数を知りたい、というのが主な問題で、これはどちらかというとプログラムとかアルゴリズムの問題だそうです。

しかし、私はプログラムが書けないしアルゴリズムも深さ優先探索と幅優先探索しか知りません。

でもまぁ無限組み合わせ論オタクなのでω-Queen問題を考えてみました。

要は盤面が ${\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ の時を考えよう、という話です。

で、解の存在が(ZFC上で)示せた(と思う)のでちょっと紹介してみようと。

話の流れとしてはω-Queenの定義→証明に使う補題→存在性証明という感じです。

1.ω-Queen問題の解

そもそも何が解なんですか、という話で。

だいたいω個の重ならないクイーンなんていくらでも置けるわけです。各nに対して十分大きいa_nを取って ${\{(n,a_{n})\mid n \lt \omega \}}$ とすれば良いので。

でもなんかこれだとスカスカです。というのもn-Queen問題の解は任意の行に対してただ1つのクイーンが置かれていて、さらに任意の列に対しても同様です。

まぁn個重ならないように置けばそりゃそうなんですけど、

なので、「任意の行に対して1つのクイーン、任意の列に対して1つのクイーンがあって、さらに斜めで重ならないような配置」を解だと思うことにします。

で、 ${X\subseteq \mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ がω-Queen問題の解であるとは、

まず

${\forall n,|X\cap\{(n,i)\mid i \lt\omega\}|=1}$

${\forall n,|X\cap\{(i,n)\mid i \lt\omega\}|=1}$

を満たしていて、

かつ斜めで重ならない。

即ち任意の ${n=(n_{1},n_{2}),m=(m_{1},m_{2})\text{ in }X}$ に対して

${n_{1} \lt m_{1}}$ ならば ${(m_{1},n_{2} + (m_{1}-n_{1})) \not= m\land(m_{1},n_{2} - (m_{1}-n_{1})) \not= m}$

となります。

あまりにもアレなので最初の条件を書きなおすと任意の ${n\in \mathbb{N}}$ に対して唯1つの ${m\in\mathbb{N}}$ が存在して ${(n,m) \in X}$ なので ${X}$ は関数です。

よってこれは ${f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}}$ で ${\forall n,m \in \mathbb{N}.n \lt m\to f(m)-f(n) \not= m-n \land f(m)-f(n) \not= -(m-n)}$ を満たす全単射そのものです。

このような全単射をω-Queen問題の解と定義することにします。

2.半順序の稠密部分集合とRasiowa-Sikorskiの補題

定義が終わったので次は存在を示したいんですけど、それに使う補題の紹介をします。

最初、具体的に定義しようとするもなんか色々と勘違いしていて「ぶっちゃけこんな関数ねーだろ！！！！でも強制法でくっつけられるんじゃね？」とやってみたらこの証明が出来ましたという感じなので、強制法を知ってる人はあーわかるわかる程度に見てください。

定理で使うRasiowa-Sikorskiの補題は次の主張を言います:

定理(Rasiowa-Sikorski)

任意のc.c.c.を持つ半順序 ${\mathbb{P}}$ と稠密集合の可算族 ${\mathfrak{D}}$ に対して ${\mathbb{P}}$ -filter ${F}$ で ${\forall D \in \mathfrak{D}.D\cap F \not= \emptyset}$ なるものが存在する。

これだけだと大変にアレなので各用語の説明です。

${\mathbb{P}}$ を半順序とします。

${A\subseteq\mathbb{P}}$ が反鎖(antichain)であるとは、任意の ${x,y\in A}$ に対して ${r\lt x,y}$ なる ${r \in\mathbb{P}}$ が存在しないことをいう。
${\mathbb{P}}$ がc.c.c.を持つとは、任意の反鎖が可算であることをいう。
${D \subseteq\mathbb{P}}$ が稠密集合(dense subset)であるとは、任意の ${p \in\mathbb{P}}$ に対し ${r \in D}$ が存在して ${r \leq p}$ なることをいう。
${F\subseteq\mathbb{P}}$ がfilterであるとは任意の ${x,y \in F}$ に対して ${r\leq x,y}$ なる ${r \in F}$ が存在してかつ任意の ${x\lt y\land x\in F}$ に対して ${y \in F}$ なることをいう。

filterは上方向について閉じた有向集合って言った方がわかりやすいかもしれません。まぁ同じなので良いです。

3.解の存在の証明

ここで示すのは次です：

${\forall n,m \in \mathbb{N}.n \lt m\to f(m)-f(n) \not= m-n \land f(m)-f(n) \not= -(m-n)}$ を満たす全単射 ${f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}}$ が存在する。

証明：

${\mathbb{P}=\{f \mid f\text{は}\mathbb{N}\text{から}\mathbb{N}\text{への半関数},|dom(f)|\lt\omega,\\ \forall n,m \in dom(f) .(f(m) \not= f(n))\land (m\lt n \to f(m)-f(n) \not= m-n \land f(m)-f(n) \not= -(m-n))\}}$