尊みで飯が食える

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Gitik-Sharonモデルについて

おはようございます。

 

 

ゼミでGitik-Sharonモデルの紹介をして資料を作ったので公開しようかと。

 

 

これからGitik-Sharonモデルを勉強したい!と思っている人が読むと「この話は一体どこの論文に載ってるんだ...」という時に参考になるかもしれません。

 

 

www.dropbox.com

 

 

まぁ詳細はイントロ読んでくれって感じですが以下で超不親切な解説をします。

 

まず特異基数に関する組合せ論的原理で有名な論文として次があります:

 

Cummings-Foreman-Magidor,"Squares, Scales and Stationary reflection"

 

ここでは色々な事が書いてあるのですが、

 

まず次の導出関係のいくつかが書いてあります:

 

f:id:mnsthkr96112:20171204033422p:plain

 

 

さらにこの論文では、次の問題が挙げられています:

 

Question {VGS_{\kappa} \to \square_{\kappa}^{*}}かどうか?

 

 

また、他に別の文脈で次の問題も挙げられています(どの論文で挙げられた問題かはわからなかったけどどうやら議論の最中に出た類の問題らしく、これといって参考文献はないらしい):

 

 

Question(Woodin) {\lnot SCH_{\kappa}\to \square_{\kappa}^{*}}かどうか?

 

これは例えば可測基数によるPrikry type forcingが{\square_{\kappa}^{*}}をforceするので一番単純なSCHが破壊されたモデルにおいてその状況が成り立っていたり、

 

supercompactより上ではSCHが成り立つけど{\square_{\kappa}^{*}}が破れることを考えれば自然な疑問ではあると思います。

 

あと少なくとも逆が言えないことは明らかなので。

 

で、Gitik-Sharonのモデルは上の2つのQuestionの回答がNoであることを与えました。

 

具体的に示したのは次:

 

Theorem(Gitik-Sharon)

{\kappa}がsupercompactであるとき、次を満足するような強制拡大{V[G]}が存在する:

{\lnot SCH_{\kappa}}

{\lnot AP_{\kappa}}(特に{\lnot\square_{\kappa}^{*}}が成立する)

{VGS_{\kappa}}

 

 

これの証明が書いてあるというpdfです。