尊みで飯が食える

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Silver-Solovayの解になるような強制法が存在しないような状況

こんにちは。

 

 

前にこんなブログ記事を書きました。

 

 

mgtohakari.hatenablog.com

 

 

ここで次の問題を紹介しました:

 

 

問題(Silver-Solovay)

全ての基数を保存するが共終数を変更する強制法は存在するか?

 

 

これに対して次がある:

 

 

定理(Prikry)

可測基数が存在するならSilver-Solovayの問題の解はYesである。

 

 

件のブログ記事ではこの一連の話を解説したわけですが、こう思った方がいると思います。

 

 

「可測基数が存在しないならどうなの?」と...

 

 

そういえば知らない...

 

 

と思って考えていたら次のような事に気付いた、という話:

 

 

定理

Silver-Solovayの問題の解になるような強制法が存在するなら弱到達不能基数が存在する。

 

 

いや冷静に考えればそれはそうって感じだけど...

 

 

まぁともかく弱到達不能基数が存在しない状況を考えればそういう感じの強制法は存在しません。

 

 

これについてpdf書こうとしたんですけど、マジで大した事書いていなかったのでボツになりました...

 

 

まあいいや。

 

 

上を示すためにまずは次を示します:

 

 

補題1

{V\subseteq W}{ICN^{V}=ICN^{W}}なるZFCのモデルに対し、ある正則基数{\kappa\in V}に対して{cf^{W}(\kappa)\lt\kappa}ならば{\kappa}{V}において極限基数である。

 

 

明らかなんですけど、仮定より{\aleph^{V}=\aleph^{W}}が成立するのでもし仮に{\kappa=\aleph_{\beta+1}}の形をしていたら{W}においても同様です。よって矛盾。□

 

 

これより次を示します。

 

 

補題2

{V\subseteq W}{ICN^{V}=ICN^{W}}なるZFCのモデルに対し、ある無限基数{\kappa}に対して{cf^{W}(\kappa)\lt cf^{V}(\kappa)}ならば{cf^{V}(\kappa)}{V}において極限基数である。

 

 

 

これもまたそんな大した話じゃないんですけど、{\kappa}{V}で正則なら補題1より明らかで、

 

 

特異基数ならばある極限基数{\delta}が存在して{\kappa=\aleph^{V}_{\delta}}という形をしています。よって{cf^{V}(\kappa) = cf^{V}(\delta)}であり、仮定より{\kappa=\aleph^{W}_{\delta}}{cf^{W}(cf^{W}(\delta))=cf^{W}(\delta) = cf^{W}(\kappa) \lt cf^{V}(\kappa) = cf^{V}(\delta)=cf^{V}(cf^{V}(\delta))}

 

 

となるので結局補題1より言えます。□

 

 

というわけでSilver-Solovayの解になるような強制法が存在するなら弱到達不能基数が存在するので、巨大基数的なものが一切ないなら本当にそういう強制法も存在しないよ、という話でした。

 

 

本当に書くほどの内容じゃなかった...