基数のべきを調べたいという話その1

せっかくtexを使えることが判明したので数学の話を書きます。

めっちゃ長くなっちゃったので分割して投稿しよう。

(追記)ZFCの無矛盾性は仮定します

(追記2,2016/10/26)各定義をまとめました

順序数と基数の話 - 尊みで飯が食える

特異基数問題と呼ばれるものの話がしたいです。

特異基数問題について話すためにまずはCardinal Arithmeticの話をします。

Cardinal Arithmeticはその名の通り基数の演算について調べる分野です。

基数ってなんじゃらぽんというと集合の濃度を表す数です。 ${ \aleph_{0}}$ とか ${\aleph_{1}}$ とかのアレです。

ちゃんと言うと濃度が自身と一致する順序数を基数と言います。表記として ${\alpha}$ 番目の無限基数が ${\aleph_{\alpha}}$ です。

で、無限基数の演算を考えることができます。有限基数の場合は普通の足し算掛け算と同じです。

無限基数の演算には和、積、べきがありますが和と積はめっちゃ簡単。

なんでかというと ${\kappa+\lambda=\kappa\cdot\lambda=max\{\kappa,\lambda\}}$ だからです。わかりやすい！

なのでべきを調べるのが主な目的です。これはめっちゃ難しい。

最初に基数 ${ \kappa }$ のべき ${ 2^{\kappa} }$ ってなんじゃらぽんというとべき集合 ${ \cal{P}(\kappa) }$ の濃度です。

もっと一般に ${\lambda^{\kappa}}$ は ${\{f|f:\kappa\to\lambda\}}$ の濃度として定義されます。

${ 2 }$ は2元集合なので ${\{f|f:\kappa\to 2\}}$ は特性関数全体と対等でこの定義はべき集合の濃度で定義するやつの一般化です。

なんでこれが難しいかというと、めっちゃ知られている事実として連続体仮説 ${ 2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1} }$ はZFC上独立です。

もっと言うと ${ 2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}}$ と仮定しようが ${2^{\aleph_{0}}=\aleph_{2016}}$ と仮定しようがZFCとは矛盾しません。

かなーり好きに仮定してよいのです。

私は三者三葉が大好きなので語呂合わせて34834番目の無限基数を連続体濃度に、つまり ${2^{\aleph_{0}}=\aleph_{34834}}$ を仮定しても無事数学は展開できます。実数が三者三葉個あって幸せですね。ちなみに ${2^{\aleph_{0}}}$ は実数全体の集合 ${\mathbb{R}}$ の濃度なので連続体濃度と言います。

実数の濃度がヘンテコなことになってて困る！つらい！連続体仮説最高！ということは自分は全然聞いたことないけど積分の話でちょっと変なことが起きることがあるとかどっかで聞いたかも。

それなら私は ${\omega}$ が好きだ！というあなたは残念ながら ${2^{\aleph_{0}}=\aleph_{\omega}}$ を仮定することができません。 ${ 2^{\aleph_{0}}\not=\aleph_{\omega}}$ がZFCから証明できるので矛盾してしまうのです(K\"onigの定理)。